18 Nisan 1943 tarihinde istanbul Şehzadebaşı'nda dünyaya geldi. Babası Lefkoşalıdır. Robert Koleji'nin orta bölümünü bitiren Zeki Alasya, okul döneminde bir yandan eğitimini sürdürdü, diğer yandan da tabelacılık yaptı.
1959'da Millî Türk Talebe Birliği tiyatrosunda amatör olarak başladı. bir süre dekoratörlük ve rehberlik yaptı. 1964 yılında Arena Tiyatrosu'nda profesyonel oyunculuğa başlayan Zeki Alasya, “Mister Nato”, “Kargalar Okulu”, “Şampanya” ve “Viski” gibi oyunlarda rol aldı. Arena, Genar ve Ulvi Uraz tiyatrolarında çalıştıktan sonra Haldun Taner, Metin Akpınar ve Ahmet Gülhan ile birlikte Devekuşu Kabare Tiyatrosu'nun kurucuları arasında yer aldı.
Film çevirmeye 1973'ten sonra başladı. Metin Akpınar ile birlikte Türk sinemasında yeni bir ikili oluşturdular. Birçok filmde yer aldı ve 1998 yılında Kültür Bakanlığı'nca Devlet Sanatçısı unvanı aldı. Salak Milyoner, Köyden İndim Şehire, Güler Misin Ağlar Mısın, Nereye Bakıyor Bu Adamlar, Hasip ile Nasip gibi filmleriyle türkiye'de bir komedyen olarak ün kazandı. İlk yönetmenlik deneyimini de yaşadığı kariyerinde önemli yere sahip 1977 ve sonrası filmleri olan Aslan Bacanak, Sivri Akıllılar, Caferin Çilesi, Petrol Kralları, Doktor, Köşe Kapmaca, Vay Başımıza Gelenler, Elveda Dostum, Akasya Durağı ve Küçük Ağa'da yer aldı. Kariyerinin sonlarında daha çok dizilerde yer alan Zeki Alasya sinemada son olarak 2009'da Aşk Geliyorum Demez filminde rol aldı.
22 Nisan 2015'te karaciğer rahatsızlığı sebebiyle hastaneye kaldırılan zeki alasya 8 Mayıs 2015 tarihinde 72 yaşında hayatını kaybetti. Cenazesi 10 Mayıs 2015'te Levent Camii'nden alınarak Zincirlikuyu Mezarlığı'na defnedildi.